Analytical solutions of plane elasticity problems Part I: Elastic regions weakened by elliptic holes

Abstract

La méthode de Kolossov et Muskhelishvili fourni un cadre général de résolution des problèmes d’élasticité plane.
Elle est basée sur l'introduction d'une fonction bi-harmonique de contraintes ou fonction d'Airy et la théorie des fonctions
complexes. Jusqu’à présent, sa mise en œuvre effective pour une approche analytique était souvent limitée par la complexité des
procédures calculatoires. Le calcul exact du champ de contraintes ou du facteur d'intensité de contraintes dans un milieu fissuré
se complique rapidement et décourage à raison le plus zélé des calculateurs. Les rares résultats qui existent sont en général
obtenus par des méthodes numériques et souffrent dès lors d'un particularisme qui restreint leur domaine d'application. Il en est
de même des méthodes analytiques approchées qui ne proposent que des résultats asymptotiques valables seulement au voisinage immédiat d'une fissure, par exemple. La souplesse et les énormes possibilités de programmation qu'offrent
actuellement les outils de calcul formel tels que Mathematica permettent d'envisager raisonnablement une approche analytique
exacte autrefois laborieuse car faisant appel à des procédures mathématiques assez compliquées.
Cette méthode a donc été appliquée à la détermination des expressions analytiques (en conservant sous leur forme symbolique
tous les paramètres liés à la géométrie et au chargement) des champs de contraintes et de déplacements dans une plaque
élastique sous diverses sollicitations et comportant un trou elliptique. Le cas limite d'une fissure elliptique permet de déduire des
expressions plus complètes que celles asymptotiques largement utilisées en Mécanique de la Rupture.